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第272章 解析延拓的另一种实现(第3页)

大概也是因为以前经常有学生询问他,数论的研究对于实际应用到底有什么作用。

如果换成像佩雷尔曼,或者是法尔廷斯等一些脾气比较暴躁点的数学家来的话,大概都会毫不留情地直接将这样的学生给轰出去。

萧易则是会表示,在他过去对于数学的各种实际应用中,从来没有用到过这种纯粹的数学。

之后,他就会在课堂中说上这样一句话。

转过身,他开始向在场的学生们科普,素数分布的研究历史,以及各种相关理论的由来。

这也算是对之前他们学习的一些内容进行回顾。

之前他们已经学习过了素数中其他方面的知识,比如素数的无限性,还有埃氏筛法等等的内容。

现在的素数分布,就是对前面这些内容的一次整体应用。

“……那么,这个时候我们就要谈起的是,素数定理。”

“我想,华罗庚班的同学,应该是有不少人都知道素数定理是什么,你们在参加数学竞赛的时候就有可能会学到这个东西。”

“素数定理描述了质数在正整数之间的渐近分布,它是数学界在研究素数分布的过程中,一个里程碑式的成果,它在1896年由法国数学家雅克·阿达马和比利时数学家德·拉·瓦莱布桑先后独立给出证明,因此在数学界中,普遍认为是由这两位数学家共同证明的素数定理。”

“利用素数定理,我们可以十分近似地去给出素数的大致分布,并且从中得到很多的信息,比如我曾经所证明的elliott-halbersta猜想,其中就大量地运用到了素数定理里面的内容。”

萧易说道:“在这里,我们稍微进行一下拓展,你们是否知道,当初雅克·阿达马和德·拉·瓦莱布桑,在证明素数定理的时候,主要用到了什么知识吗?”

很快,下面就有学生举手。

萧易记得这名学生就是他所带的大一华罗庚班的学生。

“这位同学,你来说一说吧。”

那名同学很快就站了起来,十分自信地说道:“我记得他们主要用到的知识就是黎曼给出的黎曼ζ函数,其中的关键步骤就是证明如果复数s可以写成1+it的形式,且t大于0,则ζ(s)≠0。”

萧易满意地点点头:“不错,看得出来你确实对这方面是有一番比较深刻的了解的。”

然后他就问了一下这名学生的名字,并且表示会给他加一些平时分。

这名学生顿时高兴地坐了下去。

“好的,如此,我要给大家拓展的,就是黎曼ζ函数。”

“黎曼ζ函数涉及到的是复分析的方法,至于复分析,你们之后也可以学到,并且这也会是一个比较重要的领域,那么趁着这个机会,我就先提前给你们讲一讲,复分析中的解析延拓,这也是黎曼ζ函数最重要的一个知识点。”

“所谓解析延拓,就是我们人为地对解析函数定义域进行改变,将原来较小的定义域扩展到一个比较大的定义域范围内,然后再让我们对这个问题进行问题,从而获得更多有用的信息。”

“……”

萧易有时候也很是感到欣慰,自己带的班级是华罗庚班,因此即使他讲的东西偏难,这些学生们也都能够接受,并且大概率回去之后还会进行自主学习。

就这样,讲解着解析延拓的方法,眼前的这些学生们,绝大多数也都很快地就理解了这个方法。

萧易还简单展示了一下,如何利用解析延拓来证明1+2+3+4+……是怎么等于-112的。

不过,看着仍然有一些没能理解的学生,萧易略微思索了一下,随后就说道:“那么接下来,我就再给各位展示一个更容易理解的方法。”

“所谓解析延拓,就是让我们忽略定义域的界限。”

“可能有些同学一时间有些转不过弯,觉得为什么就偏偏要忽略掉定义域,认为我们不能讨论定义域之外的函数,觉得这是无意义的。”

“不过,这种问题,随着你们对于数学的理解逐渐加深,也就可以明白,你们现在只需要知道,包括黎曼猜想,就是基于这种方法而来的。”

“但是,为了让你们能够理解,我就用椭圆曲线的方式,从另外一个角度给你们解释。”

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